La duration modificata misura quanto il prezzo di un’obbligazione con flussi prefissati reagisce, in percentuale, a un piccolo cambiamento del rendimento. È una misura di primo ordine: offre una stima rapida e confrontabile, ma richiede una convenzione di rendimento esplicita e non incorpora da sola la curvatura della relazione prezzo-rendimento.
Dalla derivata del prezzo alla misura operativa
Se P è il prezzo pieno del bond e y il rendimento usato per attualizzare i flussi, la duration modificata può essere espressa come:
Dmod = −(1/P) × ∂P/∂y
Il segno negativo trasforma la derivata, normalmente negativa per un’obbligazione option-free, in una misura positiva. L’approssimazione conseguente è:
ΔP/P ≈ −Dmod × Δy
Un aumento del rendimento produce quindi una perdita stimata, mentre una diminuzione produce un guadagno. La variazione Δy va inserita in forma decimale: 25 punti base equivalgono a 0,0025, non a 0,25.
Relazione con la Macaulay duration
Con rendimento nominale annuo y e m periodi di capitalizzazione all’anno, per flussi fissi e convenzioni coerenti:
Dmod = DMac / (1 + y/m)
La Macaulay duration è una media temporale ponderata ed è espressa in anni; la modified duration deriva da quella struttura ma risponde a una domanda diversa: la sensibilità percentuale del prezzo al rendimento. Se si usa un rendimento per periodo, un tasso effettivo annuo o capitalizzazione continua, la formula deve essere adattata alla convenzione. Scrivere soltanto DMac/(1+y) senza definire y può produrre un risultato numericamente sbagliato.
Il CFA Institute presenta la relazione tra le due misure nella sua trattazione delle yield-based duration measures, distinguendo la media temporale dalla sensibilità di prezzo.
Un esempio con prezzo e unità coerenti
Si consideri un bond con prezzo pieno 102 e duration modificata 4,6. Se il rendimento aumenta di 25 punti base:
ΔP/P ≈ −4,6 × 0,0025 = −1,15%
La variazione monetaria stimata per 102 unità di prezzo è circa −1,173, portando il prezzo vicino a 100,827 prima della correzione per convessità. Lo stesso shock al ribasso produce una stima lineare di +1,15%, ma i due movimenti effettivi non sono perfettamente simmetrici perché la curva prezzo-rendimento non è una retta.
Che cosa influenza la modified duration
A parità delle altre condizioni, una scadenza più lunga tende ad aumentarla; una cedola più elevata tende a ridurla perché anticipa una quota maggiore del valore; un rendimento più alto tende a ridurre il peso relativo dei flussi lontani. Queste proprietà valgono nel perimetro dei bond option-free a flussi prefissati. Un’opzione call, una facoltà di rimborso anticipato o un meccanismo di cedola variabile possono cambiare i flussi al cambiare dei tassi.
Per questo una duration modificata più bassa non implica automaticamente minore rischio complessivo. Può coesistere con spread di credito elevato, scarsa liquidità o forte optionalità. Misura un asse del rischio, non la qualità globale del titolo.
Own-yield sensitivity e shock della curva
La modified duration deriva da una variazione del rendimento del titolo. Non è automaticamente la sensibilità a uno shock parallelo di ogni nodo della curva benchmark. Quando prezzo e flussi vengono ricalcolati sotto scenari coerenti della curva, si passa alla duration effettiva. Quando interessa una variazione dello spread lasciando ferma la curva di riferimento, la misura pertinente è la spread duration.
La differenza è pratica. Due bond con la stessa modified duration possono reagire diversamente se uno è governativo e l’altro incorpora un premio di credito variabile; allo stesso modo, un movimento di curva non parallelo può produrre effetti che un solo yield-to-maturity non rappresenta.
Convessità e campo di validità
L’approssimazione lineare è più utile per shock piccoli. Per movimenti maggiori, la convessità obbligazionaria aggiunge il termine di secondo ordine e spiega perché guadagni e perdite non siano speculari. Nei titoli con opzioni, la convessità può anche diventare negativa in determinate regioni dei tassi.
La duration modificata resta una misura operativa efficace per confronti, limiti e prime stime di rischio. Il risultato è leggibile soltanto se prezzo, rendimento, frequenza di capitalizzazione e shock sono definiti insieme.