La duration effettiva misura la risposta del prezzo a uno shock della curva di riferimento riprezzando lo strumento nei due scenari. È particolarmente utile quando il cambiamento dei tassi può modificare anche i flussi attesi, come nei bond callable, nei mutui cartolarizzati o in altre strutture con optionalità.
La formula a tre prezzi
Si parte dal prezzo corrente P0 e da due prezzi ottenuti con lo stesso modello: P− dopo uno shock al ribasso della curva e P+ dopo uno shock al rialzo. Con shock simmetrico Δy in forma decimale:
Deff = (P− − P+) / (2 × P0 × Δy)
Le etichette seguono il prezzo: P− è normalmente il prezzo con tassi più bassi e P+ quello con tassi più alti. Invertirle cambia il segno. Il prezzo di base, la curva, il modello, gli spread non oggetto dello shock e le ipotesi comportamentali devono restare coerenti nei tre calcoli.
Non esiste una dimensione universale dello shock. Deve essere abbastanza piccola da misurare una sensibilità locale, ma abbastanza grande da evitare che rumore numerico e tolleranze del modello dominino la differenza di prezzo. La scelta è parte della governance del modello, non una costante editoriale.
Un esempio di calcolo
Supponiamo P0 = 100, P− = 102,1 e P+ = 97,7 per uno shock simmetrico di 50 punti base, cioè Δy = 0,005:
Deff = (102,1 − 97,7) / (2 × 100 × 0,005) = 4,4
Il numero sintetizza la risposta media locale nei due scenari. Non significa che qualsiasi movimento di 1% produrrà esattamente il 4,4%: convessità, variazioni degli spread e cambiamenti nelle decisioni di esercizio possono rendere la risposta non lineare.
Differenza rispetto alla modified duration
La modified duration deriva dalla relazione tra prezzo e rendimento a scadenza mantenendo fissi i flussi contrattuali. La duration effettiva riprezza invece il titolo dopo uno shock della curva benchmark e può ricalcolare i flussi. È dunque una misura curve-based e model-based.
La distinzione era già implicita nella formulazione storica della “curva governativa par ipotetica”: il punto valido non è che la curva debba essere sempre governativa o par, ma che il benchmark e la trasformazione applicata siano dichiarati. La trattazione CFA delle strategie di curva distingue proprio la sensibilità al benchmark della effective duration dalla sensibilità allo yield del singolo bond.
Strumenti con flussi path-dependent
In un callable, il calo dei tassi può aumentare la probabilità di rimborso anticipato e ridurre la vita economica del titolo. In un MBS, il rifinanziamento dei mutuatari può accelerare i prepagamenti. Il modello deve quindi aggiornare le probabilità o le regole di esercizio in ciascuno scenario; mantenere gli stessi flussi annullerebbe il motivo per cui si usa una misura effettiva.
La Federal Reserve Bank of San Francisco, nella sua analisi del rischio di tasso degli attivi mortgage-related, mostra perché prepagamenti e convessità negativa rendano insufficienti le misure fondate su flussi fissi.
Boundary con OAD e OAS
La duration effettiva descrive il risultato del riprezzamento rispetto allo shock scelto. La option-adjusted duration si colloca in un framework che separa il valore dell’opzione e lavora con un option-adjusted spread coerente con il modello. Le due espressioni possono essere usate in modo simile da alcuni provider, ma non vanno considerate sinonimi senza verificarne metodologia, curva e trattamento dello spread.
Lo stesso vale per la spread duration: muovere la curva benchmark e muovere l’OAS sono esperimenti diversi. Un report di rischio dovrebbe indicare quale componente è stata shockata e quali altre sono rimaste ferme.
Limiti e controlli operativi
La duration effettiva dipende dalla qualità del modello. Curve di input, volatilità, comportamento di esercizio, prepagamenti e convenzioni di interpolazione possono modificare il risultato. Un valore con molte cifre decimali non implica elevata accuratezza economica.
Prima di confrontare due duration effettive occorre verificare che usino lo stesso benchmark, lo stesso shock e metodologie compatibili. Per shock ampi è opportuno osservare anche i prezzi di scenario e la convessità effettiva. La misura diventa utile quando rende trasparente il modello che la produce, non quando lo nasconde dietro un solo numero.