La convessità descrive come cambia la sensibilità di un’obbligazione quando varia il rendimento. La duration approssima la pendenza locale della relazione prezzo-rendimento; la convessità ne misura la curvatura e migliora la stima per shock più ampi. Nei bond option-free è normalmente positiva, mentre opzioni e prepagamenti possono modificarne segno e profilo.
Dalla retta tangente alla curvatura
La duration modificata produce una stima lineare:
ΔP/P ≈ −Dmod × Δy
La relazione effettiva tra prezzo e rendimento non è lineare. Aggiungendo il termine di secondo ordine:
ΔP/P ≈ −Dmod × Δy + ½ × C × (Δy)2
C rappresenta la convessità secondo la convenzione di rendimento e capitalizzazione utilizzata. Duration, convessità e shock devono condividere la stessa definizione di y e le stesse unità; copiare un valore di convessità calcolato con una convenzione diversa rende incoerente l’approssimazione.
Un esempio di secondo ordine
Con duration modificata 5, convessità 40 e shock di 100 punti base, Δy = 0,01. Se il rendimento sale, il termine lineare vale −5% e la correzione convessa +0,2%, per una stima di −4,8%. Se il rendimento scende, la stima diventa +5,2%.
La convessità positiva spiega perché, a parità di shock, il guadagno stimato per un calo dei rendimenti supera in valore assoluto la perdita per un rialzo. Non elimina il rischio di prezzo e non trasforma l’approssimazione in un prezzo esatto; per movimenti ampi resta preferibile il riprezzamento completo.
I driver nei bond option-free
Per obbligazioni a tasso fisso senza opzioni, a parità delle altre condizioni, la convessità tende ad aumentare con la scadenza e a diminuire con cedola e rendimento più elevati. Flussi più lontani rendono infatti più pronunciata la curvatura della funzione di prezzo.
La documentazione CFA sulle proprietà della convessità riporta proprio maggiore convessità per scadenze più lunghe, cedole più basse e rendimenti più bassi negli option-free fixed-rate bonds. L’affermazione opposta presente nei testi legacy non viene preservata.
Convessità positiva e negativa
Un bond option-free presenta normalmente convessità positiva. In un callable, quando i rendimenti scendono, aumenta la probabilità che l’emittente eserciti la call: il prezzo può smettere di crescere al ritmo previsto da flussi fissi. La curvatura può diventare negativa nella regione in cui l’opzione è economicamente rilevante.
Un meccanismo simile opera nei mortgage-backed securities, dove tassi più bassi possono accelerare i prepagamenti. Non significa che ogni callable o MBS abbia convessità negativa in qualsiasi scenario: il risultato dipende dal livello dei tassi, dalla struttura dell’opzione e dal modello di comportamento. In questi casi la option-adjusted duration e il riprezzamento per scenari sono boundary necessari.
Convessità, prezzo e confronto tra titoli
Due bond possono avere la stessa duration ma convessità diversa. Quello più convesso offre, sotto le ipotesi del modello, una risposta più favorevole a movimenti simmetrici dei rendimenti; questa caratteristica ha però un prezzo e non va isolata da rendimento, credito, liquidità e opzioni.
Nel confronto occorre usare la stessa curva e le stesse convenzioni. Per strumenti con spread variabili, la curvatura rispetto al benchmark non coincide necessariamente con quella rispetto allo spread. Per portafogli, la media ponderata delle convessità è una prima approssimazione sotto shock comuni, non una descrizione completa di curve e basi differenti.
Quando usarla
La convessità è utile per valutare l’errore della duration, confrontare esposizioni con simile sensibilità di primo ordine e progettare hedge più robusti. Diventa particolarmente importante quando lo shock non è minimo o quando la distribuzione dei flussi è molto lunga.
La lettura corretta resta congiunta: duration per la pendenza, convessità per la curvatura, modello completo per optionalità e scenari ampi. Separare questi livelli evita sia di ignorare la non linearità sia di attribuire alla convessità una precisione che non possiede.